等价无穷小性质 等价无穷小原理

重要等价无穷小的公式：

（1）sinx~x

（2）tanx~x

（3）arcsinx~x

（4）arctanx~x

（5）1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1

（6）（a^x）-1~x*lna(（a^x-1)/x~lna)

（7）（e^x）-1~x

（8）ln(1+x)~x

（9）(1+Bx)^a-1~aBx

（10）[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

（11）loga(1+x)~x/lna

（12）（1+x)^a-1~ax(a≠0)等价无穷小注意：

可以拆成两个极限分别求结果，然后在加起来，所以相当于独立求两个的极限，你们两者爱怎么用等价无穷小怎么用，但如果只有一个有极限，或两个都没有。

用等价无穷小量的替换时，必须要整体替换。用泰勒展开式，来对函数在一点附近的函数进行近似，近似式的阶数越高，近

因为有lnx，所以x＞0.x趋于正无穷时，x的增速远大于lnx，x-lnx→∞

x趋向于无穷，x-lnx为无穷大。

设y=x-lnx-x/2=x/2-lnx。

则y'=1/2-1/x，所以当x>2时，y单调递增

显然当x=e时y>0，所以当x>e时，x-lnx-x/2>0。

即x-lnx>x/2。

而当x-->+无穷大时，x/2-->+无穷大，故有x-lnx-->+无穷大。

扩展资料：

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

等价无穷小的阶是指当一个无穷小序列与另一个无穷小序列的比值在极限情况下趋于1时，这两个无穷小序列被认为具有等价的阶。具体而言，当两个无穷小序列的差异在极限情况下趋于零时，它们被认为具有相同的阶。换句话说，等价无穷小的阶是用来比较无穷小序列在极限情况下的增长速度的一种方法。这在数学分析和微积分中经常用于研究函数的性质和计算极限。

在等价无穷小原理是微积分中的一个重要概念，用于在计算极限时简化问题。它基于一个观察：如果两个函数在某一点处的极限存在且相等，那么在该点附近，这两个函数的差可以近似为一个无穷小。

具体来说，设函数f(x)和g(x)在x=a处连续，并且满足以下条件：

1.当x接近a时，f(x)和g(x)的极限都存在；

2.当x接近a时，f(x)和g(x)的极限都为零。

那么，根据等价无穷小原理，我们可以得出结论：当x接近a时，f(x)和g(x)的差可以近似看作是一个无穷小。也就是说，f(x)和g(x)在x=a处的行为非常相似。

等价无穷小原理在微积分中有广泛的应用，特别是在求极限、导数和积分等方面。它可以简化计算过程，使得我们可以通过研究一个函数的等价无穷小来了解它的性质和行为。

等价无穷小是指在某个数值变化过程中，当这个数值趋近于零时，它与另一个无穷小在某种意义上“等价”。具体来说，如果一个无穷小的绝对值可以通过乘以一个常数得到另一个无穷小的绝对值，那么这两个无穷小就是等价的。

设f(x)和g(x)是定义在某一区间上的函数，x→a时，f(x)→0，g(x)→0，且存在常数k（k≠0），使得当x→a时，f(x)与kg(x)的比值趋于1，即

lim(x→a)f(x)/g(x)=k≠0

则称f(x)与g(x)在x→a时是等价的，记作f(x)~g(x)（与号上方加一条波浪线）。

等价无穷小的概念在数学分析和极限理论中起到重要作用，它可以帮助我们简化运算、求解极限以及研究函数的性质。