值域的求法，求函数的值域的八种方法

求函数值域的常用方法有：配方法，分离常数法，判别式法，反解法，换元法，不等式法，单调性法，函数有界性法，数形结合法，导数法。

一、配方法

二、反解法

三、分离常数法

四、判别式法

五、换元法

六、不等式法

七、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

八、函数单调性法

先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。

九、数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

十、导数法

利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：(1)求导，令导数为0；(2)确定极值点，求极值；(3)比较端点与极值的大小，确定最大值与最小值即可确定值域。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

看该函数中变量满足的条件，例如有什么限制条件，变量不能去到什么值，就从R上去掉，或者是只能取到什么值。

值域是在定义域的基础上，整个函数的值的范围，可以先求出定义域，再看自变量在该定义域中的取值为多少时该函数取最大值为多少，最小值为多少，这之间有什么取不到，在合起来，即可。

1定义域的求法。

（1）若?是整式，则定义域为R。

（2）若?是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数。

（3）若?是偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数。

（4）若?是复合函数，则定义域由复合的各基本函数的定义域组成的不等式组确定。

2．值域的求法，有：观察法、配方法、判别式法、换元法等

求函数的值域常用方法：

一、配方法

将二次函数配方成顶点式的形式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。

二、常数分离

这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。

三、逆求法

对于y=f(x)的形式，可用逆求法，表示为x=g(y)，此时可看y的限制范围，就是原式的值域。

四、换元法

对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。

五、单调性

可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。

六、基本不等式

根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。

七、数形结合

可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。

八、求导法

求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。

一、配方法。

将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。）

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二、常数分离

这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。

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三、逆求法

对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。

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换元法

对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解

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五、单调性

可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。

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六、基本不等式

根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。

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七、数形结合

可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域

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八、求导法

求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可的到值域了。

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九、判别式法

将函数转变成****=0的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。

注意事项

不知道是否有表述清楚，可图片里的例子进行理解。

方法很多，重在理解，才能掌握

1.函数的值域可以通过图像法确定。2.因为函数的值域是所有可能的输出值，所以可以通过列举函数的所有可能的输出值来确定值域。3.值域也可以通过求导数和极值来确定。当函数的导数存在且为零时，该点可能是函数的极值点，通过判断极值点的情况可以确定值域。4.如果函数是一个多项式函数，可以通过观察多项式的次数和系数来确定值域。5.对于有界闭区间上的连续函数，值域可以通过最大值和最小值来确定。6.如果函数是一个有理函数，可以通过观察分子函数和分母函数的性质来确定值域。7.对于三角函数和指数函数等特殊函数，可以通过观察函数的周期和增减性来确定值域。8.对于复合函数，可以通过分解函数的组成部分并确定每个部分的值域，然后将这些值域组合起来确定整个函数的值域。总结：确定函数的值域可以通过图像法、列举输出值、求导数和极值、观察函数性质、观察函数的周期和增减性、分解复合函数等多种方法来进行。不同的函数类型可能适用不同的方法来确定值域。