复合函数求导 复合函数求导法则

三角函数的复合函数求导涉及到多个函数的导数相乘或相加。在计算复合函数导数时，我们需要按照以下步骤进行：

1.计算内层函数的导数，即在内层函数中，外层函数对内层函数的导数。

2.将内层函数的导数乘以外层函数对内层函数的导数的系数。

3.将结果相加或相乘，得到外层函数对内层函数的复合函数导数。

以下是一个三角函数复合函数求导的示例：

假设我们有以下三角函数复合函数：

f(x)=sin(2x)*cos(3x)

首先，我们需要计算内层函数的导数：

-对于sin(2x)，其导数为cos(2x)。

-对于cos(3x)，其导数为-sin(3x)。

然后，我们需要计算外层函数对内层函数的导数的系数。在这个例子中，我们可以看到外层函数的导数的系数是2。

接下来，我们将内层函数的导数乘以外层函数对内层函数的导数的系数。在这个例子中，我们将cos(2x)和-sin(3x)的乘积乘以系数2，得到：

f'(x)=2*sin(2x)*cos(3x)

最后，我们将结果相加或相乘，得到外层函数对内层函数的复合函数导数。在这个例子中，我们将f'(x)的结果相加，得到：

f'(x)=2*sin(2x)*cos(3x)=4*(sin(2x))'(x)+4*(cos(3x))'(x)

所以，f(x)的复合函数导数是16*(sin(2x))'(x)+16*(cos(3x))'(

导数的加(减)法则是[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'；乘法法则是[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)；除法法则是[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2，复合导数也是在此基础上进行运算的。复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

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导数是微积分中的重要基础概念，具有广泛的应用。

常见的导数公式有：

y=f(x)=c(c为常数)，则f'(x)=0；

f(x)=x^n(n不等于0)，f'(x)=nx^(n-1)(x^n表示x的n次方)；

f(x)=sinxf'(x)=cosx；

f(x)=cosxf'(x)=-sinx；

若有两个一元函数f（x）和g（x），我们可以把g的函数值为f的自变量，得到一个新的函数称为f（x）和g（x）的复合函数，记f〈g（×）〉

如果我们己知两个王数，f（x）和g（x）的导函数f＇（x）和g＇（x），那么我屲可以通过以下公式复合函数f〈g（x）〉的导数.f〈g（x）〉g＇（x）（1）

对于多个函数的复合函数，我们也有类似的公式，例如f〈g（h（x））〉g＇〈h（x）〉h＇（x）（2）

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

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设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

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复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。

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复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。

设有复合函数y=f(g(x)),若g(x)在点x可导，函数f(u)在点u=g(x)可导，

复合函数求导公式：

dy/dx=dy/du*du/dx

首先分析变量之间的关系，这里X是自变量，U是中间变量，Y是函数，当X由增量@X时，首先引起中间变量有增量@U，由@U在引起函数的增量@F。粗略但比较直观的证明可以写成@F/@X=@F/@U*@U/@X

当@X6趋于0时，有@U趋于0，两边取极限，则有lim@F/@X=lim(@F/@U*@U/@X)

=F’(U)*U’(X)