数列的极限，数列的极限是多少

若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称为数列。因正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(N)也可写作当从某一项(也就是所谓的N)开始以后的每一项的fn(以后的每一项的序列号n都会大于N,因为是从N开始以后的每一项），都有fn-a的绝对值小于e(这句话的意思是这以后的每一项fn都无限接近于a这个常数。

数列极限

设{Xn}为实数数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限。

数列的极限定义

若函数

的定义域为全体正整数集合

，则称

为数列。

因正整数集

的元素可按由小到大的顺序排列，故数列

也可写作

或可简单地记为

，其中

称为该数列的通项。

数列

定义设为数列

，a为定数。若对任给的正数

，总存在正整数N，使得当

时有

则称数列

收敛于a，定数a称为数列

的极限，并记作

若数列

没有极限，则称

不收敛，或称

发散。

等价定义任给

，若在

之外数列

中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限a。

设{Xn}为实数数列，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限。

一般说，N随ε的变小而变大，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的;但这并不意味着N是由ε所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，能使得当n>N时有|xn-a|<ε，则N=101或更大时此不等式自然也成立.这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小.另外，定义1中的，n>N也可改写成n≧N.

在数学中，一个数列的极限是指当数列的项趋向于无穷大时，数列的值逼近的一个确定的实数值。具体地说，给定一个数列\(\{a_n\}\)，如果存在一个实数\(L\)，对于任意小的正数\(\varepsilon>0\)，都存在一个正整数\(N\)，使得当\(n>N\)时，数列的第\(n\)项\(a_n\)满足\(|a_n-L|<\varepsilon\)，那么我们称数列\(\{a_n\}\)的极限为\(L\)，记作：

\[\lim_{n\to\infty}a_n=L\]

这个定义表达了当数列的项\(n\)越来越大时，数列的值无限接近于实数\(L\)。数学中的数列极限概念在分析、微积分等领域中有着重要的应用。