可微和可导的区别 可微可导的区别与联系

一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。

多元函数可微必可导，而反之不成立。在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；

在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件

1。一元函数的极限存在≠>连续，

2。一元函数的连续≠>可导，

3。二元函数的连续≠>可导

4。二元函数的可导≠>连续

5。二元函数的连续≠>可微

1可微和可导是微积分中重要的概念，它们都是在一个函数上求导数的性质。2可微指的是函数在某个点上有导数，而且这个导数存在唯一的极限。可导则是指函数在某个点上有导数，但这个导数不一定存在极限。3可微和可导的联系在于，如果一个函数在某个点上可导，则它一定是在这个点上可微的。可微和可导的区别在于，可微的函数在某个点上不仅有导数，而且这个导数有唯一的极限存在；而可导的函数只需要在这个点上有导数即可，不需要考虑这个导数的极限是否存在。4总的来说，可微和可导在微积分中都是非常重要的概念，它们的区别和联系也需要我们在学习微积分过程中有所了解和掌握。

函数可导与连续之间的关系，函数可导可以推出函数连续，但函数连续不可以推出函数可导，比如函数y=|x|是连续的，但在x=0处是不可导的。可导与可微之间的关系，对于一元函数，函数可导和可微是完全等价的，对于多元函数，函数可微可以推出函数可导，函数可导不可以推出函数可微。

复变函数的可微性和解析性在一定程度上是相互关联的，但也有一些区别。可微性指的是复变函数在某个点上存在某个导数。对于实变函数f(x)，可微性意味着在该点的邻域内，存在切线与函数曲线重合，并且函数的微分与切线的斜率相等。对于复变函数f(z)，可微性的定义类似，但是导数是一个复数。如果在某个点上这个导数存在，则称函数在该点是可微的。解析性是指函数在其定义域上处处可导，并且导数是连续的。对于实变函数f(x)，解析性意味着函数在定义域上处处可导，并且导数在所有点都存在。对于复变函数f(z)，解析性意味着函数在其定义域上处处可微，并且导数在所有点都连续。因此，可以说可微性是解析性的一种特殊情况。对于解析的函数来说，如果一个函数在某个点上是可微的，则在该点的某个邻域内，函数可以表示为一个幂级数的形式，也就是可以展开为一个无穷级数的形式。这个级数叫做泰勒级数，而函数被称为是解析的。但是需要注意的是，可微性并不一定意味着解析性，因为一个函数在某个点上可微，并不能保证在整个定义域上都可微。

正确，可微一定可导。但是可导不一定可微。

1、可导的充要条件：

左导数和右导数都存在并且相等。

2、可微：

（1）必要条件

若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；

若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

（2）充分条件

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

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扩展资料：

微分

早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；

虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。

例如公元前五世纪，希腊的德谟克利特（Democritus）提出原子论：他认为宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《庄子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，万世不竭」，亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。

其他关于无穷、极限的论述，还包括芝诺（Zeno）几个著名的悖论：

其中一个悖论说一个人永远都追不上一只乌龟，因为当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆下去，任何人都总追不上一只最慢的乌龟。

当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬不过；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。

然而这些荒谬的论述，开启了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的历史意味。

另外值得一提的是，希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。

由此可见，在历史上，积分观念的形成比微分还要早。这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚刚相反。