垂径定理？垂径定理例题及答案解析

初三数学垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

课后练习

若过圆o内一点p的最长的弦为10,最短的弦长为8,求op的长。

解析：

最长弦为直径设为AB=10

最短弦为垂直该直径的弦设为CD=8

根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦

则CP=4，OC=半径=5

根据勾股定理OP=√(OC2-CP2)=3

垂径定理及公式

答:垂直于弦的直径平分这条弦，并平分这条弦所对的两段弧。这就是著名垂径定理。公式:弦的一半是直径两段的比例中项。圆还有著名的圆幂定理和圆周角定理。

什么是垂径定理

垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法，这可能是最早的有关于垂径定理的记载。

中文名

垂径定理

外文名

Verticaltheorem

别称

垂定

提出者

欧几里得(Ευκλειδη?)

垂径定理推论详解

垂径定理是垂直与弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两段弧

推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦并且平分这条弦所对的两段弧

推论二弦的垂直平分线经过圆心并且平分这条弦所对的弧

推论三平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四在同圆或者等圆中两条平行弦所夹的弧相等

（证明时的理论依据就是上面的五条定理）

但是在做不需要写证明过程的题目中可以用下面的方法进行判断：

在5个条件中：

1平分弦所对的一条弧

2平分弦所对的另一条弧

3平分弦

4垂直于弦

5经过圆心（或者说直径）

只要具备任意两个条件就可以推出其他的三个结论

垂径定理的内容

垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:在5个条件中:1.平分弦所对的一条弧2.平分弦所对的另一条弧3.平分弦4.垂直于弦5.经过圆心(或者说直径)只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论

垂径定理十个推论及证明

垂径定理：直径垂直弦，平分弦，平分弦所对的弧。

推论

①直径平分非径弦，垂直弦。

②直径平分非径弦，平分弦所对的弧。

③垂直平分弦的直线过圆心。

④垂直平分弦的直线，平分弦所对的弧。

⑤直径平分弧，平分弧所对弦。

⑥直径平分弧，垂直孤所对弦。

⑦直径平分非径弦，垂直此弦。

⑧平分弦及平分弦所对弧的直线过圆心。

⑨平分弧且垂直弧所对弦的直线过圆心。

⑩平分弦所对两弧的直线垂直平分弦且通过圆心。

由定理直接得的叫推论，无须证明。