三角函数公式大全表，正切公式与余切公式的关系

两角的正切差公式

两角差的正切公式：tan（A-B）=tanA-tanB/1。在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanB=b/a，即tanB=AC/BC。

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

正切两角和公式

两角和正切公式为tan(A+B)=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）。

两角和正切公式的推导过程为：tan(A+B)=sin(A+B)/cos(A+B)=（sinAcosB+cosAsinB）/（cosAcosB-sinAsinB），分子分母分别除以cosAcosB(cosA不等于0，cosB不等于0)，则tan(A+B)=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）。

两角和与差的正弦正切公式及应用

两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)。tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。

两角和（差）公式

两角和与差正切公式推导

tan(A+B)=sin(A+B)/cos(A+B)=sinAcosB+cosAsinB/cosAcosB-sinAsinB

分子分母分别除以cosAcosB(cosA不等于0,cosB不等于0)

tan(A+B)=tanA+tanB/1-tanAtanB,tan(A-B)=tanA-tanB/1+tanAtanB

tan(A+B)要有意义,A+B≠π/2+kπ(k是整数)

tan(A+B)=sin(A+B)/cos(A+B)=(sinAcosB+sinBcosA)/(cosAcosB-sinAsinB)

当cosAcosB≠0时,分子分母同时除以cosAcosB,得

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

用-B换B得tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

当cosAcosB=0时,不妨设cosA=0,则A=π/2+kπ

此时tanA不存在,故不能使用和差角公式。

两角和与差的正余弦公式记忆口诀

首先，正弦和余弦要成对记。

也就是说在记忆公式时，正弦和余弦归为一组来记忆，使用时也是一样。

其次，同一个角在同一组中不能同时出现。

也就是说如果一个角出现了正弦，就不能同时再出现该角余弦。如果要出现余弦，也只能是另一个角的同组中的另一个。

再次，要注意公式两端符号的关系。

也就是要注意公式两端的符号是否相同，如果相同我们就用“同”来表示，如果不同就用“异”来表示。

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三角函数两角和差公式涉及到正弦、余弦、正切、余切等，由于在高中阶段使用最多的是正弦和余弦，并且正弦和余弦的两角和差公式在整个三角函数公式体系中有很重要的地位，所以接下来我们就重点介绍正弦和余弦的两角和差公式的记忆。

sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

通过观察等式两边的符号是相同的，也就是说左边是两角“和”的话，右边就是两项的和；左边如果是两角的“差”，右边就是两项的差。

另外，两角和差公式，如果是正弦的话，展开式中每项都是同组相异者，也就是说在正弦和余弦的组里，其中一个为正弦的话，另一个一定为余弦，反之亦然。

同时正弦的两角和差公式中，每个角都出现正弦和余弦各一次，并且是与另一角同组中相异的组成一项进行的。

比如如果一个是sinα,那么与其组成同一项的一定是cosβ，为什么是它呢？

因为一个是sinα，同一组中不能再出现同一个角，所以另一个只能是另一个角β，另外根据同组相异判断，另一个角只能是余弦形式（因为α已经是正弦形式）。

这样就有了记忆正弦两角和差公式的口诀：正异同。

“正”指的是正弦；“异”指的是同组相异者；“同”指的是等式两边的符号相同。

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下面我们来观察余弦的两角和差公式，然后通过规律总结出记忆口诀。

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

首先，等式两端符号相异。

等式左边与等式右边的符号是相反的，一为“+”，一为“-”，或者一为“-”，一为“+”。这就表明符号相异。这样只要知道等式左边的符号，我们就可以根据符号异而直接写出右边的符号。

其次，同组同。

在正弦两角和差公式中，是同组异；而余弦的两角和差公式则是同组同。

什么意思呢？

就是两个角组成的每一项中都是同组中相同的形式，而不是相异的形式。

比如，如果一个角是正弦，则组成同一项的另一个角也是正弦；如果一个角是余弦，则另一个角也是余弦。

也就是说如果一个是cosα,则组成同一项的另外一个一定是cosβ；同理，如果一个是sinβ,则同项的另一个一定是sinα.

这样就有了记忆余弦两角和差公式的口诀：余同异。

“余”指的是两角和差的余弦，“同”指的是同组相同者，也即形式相同者，“异”指的是等式两边的符号相反。

至此两角和差的正弦余弦公式的口诀就全出来了：正异同，余同异。

掌握了这个口诀，我们就可以直接写出两角正弦或余弦的两角和差的公式了，自然也就可以具体运用了。

假如要写出sin(θ+γ)的公式展开式，我们如何用口诀写出来呢？

首先，我们观察知道这是两角和差的正弦公式，适用口诀“正异同”。

其次，根据“正异同”写出公式展开式。

由于“异”指的是同组相异，这里两个角是γ和θ，所以按组归类来说就有这两个角中每个角的正弦和余弦，也就是sinγ、cosγ和sinθ、cosθ。由于同一项中不同同角出现且是组异者，所以只有sinθ与cosγ和cosθ与sinγ两种方式组合同项。然后根据等式两边符合相同，可以直接写出sin(θ+γ)公式展开式。

sin(θ+γ)=sinθcosγ+cosθsinγ。

或许有人会问掌握了口诀，如何确定先写哪个角哪个形式呢？

其实只要观察公式就知道答案了。

按照等式左边和右边的形式观察特点，我们知道等式右边首项开始部分就直接与等式左边形式相同。

比如sin(α+β)对应的右边首项就是sinαcosβ,不就直接是左边sin(α+β)中的首个角的正弦形式吗？

同样两角和差公式的余弦公式也是如此。

cos(α+β)的等式右边展开式的首项的开始者不就是cosα吗？

由上，根据等式左边的内容可以直接写出等式右边首项的开始部分，然后按照口诀就可以完整的写出公式了。

提示：两角和差公式中的正切和余切公式，就是对应两角和差公式的正弦除以余弦，然后展开式中分子分母同时除以cosαcosβ或sinαsinβ就能得到了。图片中是直接列出公式结果，没有推导过程。

为何正切公式要除以cosαcosβ，就是为了凑等式左边的角的形式。比如正切公式中是正切形式，所以等式右边也要凑成正切形式。利用正切是正弦除以余弦，所以分子分母同时除以余弦就可以得到正切形式。

同理如果是余切公式，根据余切是余弦除以正弦，所以分子分母同时除以sinαsinβ就可以推导出公式了。

另外两角和差公式很重要且关键，因为倍角公式和半角公式等都源自它，也就是通过两角和差的正余弦公式，我们可以很容易地的推导和掌握半角公式和倍角公式等。

两角和与差的正切公式

两角和、差的正切公式：

两角和、差的正弦公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

记忆方式：异名同号

正弦的展开肯定就是以正弦开头，然后满足异名，正弦配余弦，符号就和我们要求的符号相同。

两角和、差的余弦公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

记忆方式：同名异号

余弦的展开肯定就是以余弦开头，然后满足同名，余弦配余弦，正弦配正弦，符号就和我们要求的符号相异。

两角和与差的正切公式推导过程

首先，我们以一个三角形ABC为例，A为钝角，B为锐角，C为直角，AB=a，BC=b，CA=c，则有a^2=b^2+c^2，引入正切函数：

tanA=a/b，tanB=b/c，tanC=c/a

由于三角形ABC的和为180°，则有A+B+C=180°，

所以可以得到tan(A+B+C)=tanA+tanB+tanC，

将tanA,tanB,tanC代入，

即tan(A+B+C)=(a/b)+(b/c)+(c/a)，

将a^2=b^2+c^2代入，

得到tan(A+B+C)=(a^2+b^2+c^2)/(bc+ca+ab)，

即得到了两角和与差的正切公式：

tan(A+B+C)=(a^2+b^2+c^2)/(bc+ca+ab)。